第二章
拉伸 压缩 剪切
工程力学 C
夏逸波 低空技术学院
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§2-1 轴向拉压的概念及实例
一、工程实例
工程中承受轴向拉伸或轴向压缩的构件十分常见。
机械吊臂
液压千斤顶
§2-1 轴向拉压的概念及实例
受力特点与变形特点
受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆的轴线重合；
变形特点：杆件沿轴向伸长或缩短。
拉伸示意图
§2-2 横截面上的内力和应力
一、求内力：截面法
已知：等直杆受力如图，求横截面 $m$-$m$ 上的内力。
1、截面法：(1) 截开，(2) 代替，(3) 平衡
左段：$\sum F_x=0,\ F_N-F=0$，
$F_N=F$；
$F_N=F$；
左段：$\sum F_x=0,\ F_N-F=0$，
$F_N=F$；
右段：$\sum F_x=0,\ F-F_N'=0$，
$F_N'=F$
$F_N=F$；
右段：$\sum F_x=0,\ F-F_N'=0$，
$F_N'=F$
2、符号规定：拉为正，压为负
注意(1) 解题均采用"设正法"；(2) 取受力简单的部分考虑。
§2-2 横截面上的内力和应力
二、轴力图: 整段轴上的内力表示
横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。
反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
例题
作图示杆件的轴力图，并指出 $|F_N|_{\max}$
解：$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面
$\sum F_x=0 \quad F_{N1}-50=0$
$F_{N1}=50\,\mathrm{kN}$
$F_{N1}=50\,\mathrm{kN}$
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面
$\sum F_x=0 \quad -100-F_{N2}=0$
$F_{N2}=-100\,\mathrm{kN}$
$F_{N2}=-100\,\mathrm{kN}$
$|F_N|_{\max}=100\,\mathrm{kN}$
轴力图作图规则
(1) 标出轴力的绝对值
（正值画上方，负值画下方）
（正值画上方，负值画下方）
(2) 按大致比例画
(3) 尽量要上下对齐
(4) 标注正负号
(5) 轴力图必须封闭
分段原则：
(1) 集中力作用点；(2) 分布载荷起始点
(1) 集中力作用点；(2) 分布载荷起始点
例题2
画出图示直杆的轴力图。
解：$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面
$\sum F_x=0 \quad F_{N1}-50=0$
$F_{N1}=50\,\mathrm{kN}$
$F_{N1}=50\,\mathrm{kN}$
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面
$\sum F_x=0 \quad -100-F_{N2}=0$
$F_{N2}=-100\,\mathrm{kN}$
$F_{N2}=-100\,\mathrm{kN}$
$|F_N|_{\max}=100\,\mathrm{kN}$
例题2
画出图示直杆的轴力图。
解：$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：
$\sum F_x=0\\ -F_{N1}+F_1-F_2-F_3=0$
$F_{N1}=6\,\mathrm{kN}$
$\sum F_x=0\\ -F_{N1}+F_1-F_2-F_3=0$
$F_{N1}=6\,\mathrm{kN}$
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：
$\sum F_x=0 \\ -F_{N2}-F_2-F_3=0$
$F_{N2}=-12\,\mathrm{kN}$
$\sum F_x=0 \\ -F_{N2}-F_2-F_3=0$
$F_{N2}=-12\,\mathrm{kN}$
$\mathrm{III}$-$\mathrm{III}$截面：
$\sum F_x=0 \\ -F_3-F_{N3}=0$
$F_{N3}=-4\,\mathrm{kN}$
$\sum F_x=0 \\ -F_3-F_{N3}=0$
$F_{N3}=-4\,\mathrm{kN}$
§2-2 横截面上的内力和应力
三、横截面上的应力
问：两根材料相同的杆件哪一根容易破坏?
构件的破坏与单位面积上的内力有关。
应力单位面积上的内力（即内力的集度）。
问题：
- (1) 横截面上是何种应力（$\sigma$、$\tau$）?
- (2) 横截面上应力分布规律?
- (3) 如何计算应力?
§2-2 横截面上的内力和应力
1、变形现象
加力前：
$ab \parallel cd$，且垂直于轴线
$ab \parallel cd$，且垂直于轴线
加力后：
(1) 横向线 $a'b'$ 和 $c'd'$ 仍为直线，且仍然垂直于轴线
(2) $ab$ 和 $cd$ 分别平行移至 $a'b'$ 和 $c'd'$，且伸长量相等
观察结论：
(1) 各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同。
(2) 各纤维之间无相互作用，所以切应力为零。
§2-2 横截面上的内力和应力
2、平面假设
变形前为平面的横截面，在变形后仍为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上正应力均布，公式为：
$\sigma=\dfrac{F_N}{A}$
式中：$F_N$ 为轴力，$A$ 为杆的横截面面积
3、讨论：
- ① 外力的合力作用必须与杆件轴线重合
- ② 不适用于集中力作用点附近的区域
- ③ 适用于等直杆，若截面尺寸沿杆轴线变化很缓慢时，近似可借用
- ④ 拉、压均适用，$\sigma$ 拉为正，压为负
§2-2 横截面上的内力和应力
四、圣维南（Saint-Venant）原理
如用与外力系静力等效的合力来代替原力，则除了原力系起作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处，上述代替的影响就非常微小，可以不计。
例2-3
作图示杆件的轴力图，并求 1-1、2-2 截面的应力
解：
1、求内力
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
解：
1、求内力
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
2、求应力
$\sigma_1=\dfrac{F_{N1}}{A_1}=\dfrac{20\times10^3\times4}{\pi\times20^2}=63.7\,\mathrm{MPa}$
1、求内力
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
2、求应力
$\sigma_1=\dfrac{F_{N1}}{A_1}=\dfrac{20\times10^3\times4}{\pi\times20^2}=63.7\,\mathrm{MPa}$
解：
1、求内力
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
2、求应力
$\sigma_1=\dfrac{F_{N1}}{A_1}=\dfrac{20\times10^3\times4}{\pi\times20^2}=63.7\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_2=\dfrac{F_{N2}}{A_2}=\dfrac{-30\times10^3\times4}{\pi\times30^2}=-42.4\,\mathrm{MPa}$
1、求内力
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
2、求应力
$\sigma_1=\dfrac{F_{N1}}{A_1}=\dfrac{20\times10^3\times4}{\pi\times20^2}=63.7\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_2=\dfrac{F_{N2}}{A_2}=\dfrac{-30\times10^3\times4}{\pi\times30^2}=-42.4\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_2=\dfrac{F_{N2}}
例2-4
吊车钢杆 AB 直径 $d=20$ mm，$Q=15$ kN，求 $Q$ 作用在 A 点时 $\sigma_{AB}$
解：1、求内力
$\sin\alpha=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{0.8}{\sqrt{0.8^2+1.9^2}}=0.388$
$\sum M_C=0\quad F_{AB}\sin\alpha\,\overline{AC}-Q\,\overline{AC}=0$
$F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$，
对 AB 杆：$F_N=F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$
对 AB 杆：$F_N=F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$
2、求应力
$A=\dfrac{1}{4}\pi d^2=3.14\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$
$\sigma=\dfrac{F_N}{A}=\dfrac{38.7\times10^3}{3.14\times10^{-4}}=123\,\mathrm{MPa}$
§2-3 拉、压时斜截面上的应力
一、斜截面上的应力
以 $p_\alpha$ 表示斜截面 $k$-$k$ 上的应力，$A$ 为横截面面积：
$A_\alpha=\dfrac{A}{\cos\alpha},\quad F_\alpha=F$
$p_\alpha=\dfrac{F_\alpha}{A_\alpha}=\dfrac{F}{A}\cos\alpha=\sigma\cos\alpha$
沿法线和切线方向分解得：
$\sigma_\alpha=p_\alpha\cos\alpha=\sigma\cos^2\alpha$
$\tau_\alpha=p_\alpha\sin\alpha=\dfrac{\sigma}{2}\sin 2\alpha$
§2-3 拉、压时斜截面上的应力
二、符号的规定
(1)：$\alpha$ 角：
自 $x$ 转向 $n$，逆时针时$\alpha$为正
隐身内容内容顺时针时$\alpha$为负
(2)：正应力：
隐身内容内容拉伸为正
隐身内容内容压缩为负
(3)：切应力：对研究对象任一点取矩
隐身内容内容顺时针为正
隐身内容内容逆时针为负
隐身内容内容逆时针为负
§2-3 拉、压时斜截面上的应力
讨论
$\sigma_\alpha=\sigma\cos^2\alpha$
$\tau_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}\sin 2\alpha$
$\tau_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}\sin 2\alpha$
(1) 当 $\alpha=0°$：
$\sigma_\alpha=\sigma_{\max}=\sigma$，$\tau=0$
$\sigma_\alpha=\sigma_{\max}=\sigma$，$\tau=0$
(2) 当 $\alpha=45°$：
$\sigma_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}$，$\tau_\alpha=\tau_{\max}=\dfrac{\sigma}{2}$
$\sigma_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}$，$\tau_\alpha=\tau_{\max}=\dfrac{\sigma}{2}$
(3) 当 $\alpha=-45°$：
$\sigma_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}$，$\tau_\alpha=\tau_{\min}=-\dfrac{\sigma}{2}$
$\sigma_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}$，$\tau_\alpha=\tau_{\min}=-\dfrac{\sigma}{2}$
(4) 当 $\alpha=90°$：
$\sigma=0$，$\tau=0$
$\sigma=0$，$\tau=0$
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
1. 实验方法
材料力学性能材料在外力作用下，表现出的变形、破坏等方面的性能，又称机械性能。
试验条件：（1）常温；（2）静载（缓慢平稳加载）；（3）标准试件（GB 228-2002：圆形截面，$l=5d$ 或 $l=10d$）
低碳钢和灰铸铁是力学性能比较典型的常用工程材料。
2. 实验设备
（1）电子万能试验机
（2）游标卡尺
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
二、低碳钢拉伸时的力学性质
1. 试样
国家标准件,圆形截面,有两种:$l=5d$ 或 $l=10d$
所有试件遵守国家标准《金属拉伸试验方法》（GB228-2002）
$l=5d$
$l=10d$
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
2、拉伸图（F-Δl 曲线）
表示 $F$ 和 $\Delta l$ 关系的曲线，称为拉伸图。
材料的力学性能应与试样的几何尺寸无关
材料的力学性能应与试样的几何尺寸无关
拉伸图与试样的尺寸有关，为了消除试样尺寸的影响，取：
$\sigma=\dfrac{F}{A}\qquad \varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}$
§2-4 应力应变图
（1）弹性阶段
隐身试样的变形完全弹性的. 此阶段内的直线段材料满足胡克定律 ：
$\sigma=E\varepsilon$
隐身试样的变形完全弹性的. 此阶段内的直线段材料满足胡克定律 ：
$\sigma=E\varepsilon$
$E-$弹性模量
$\sigma_p-$比例极限
$b$点是弹性阶段的最高点
$\sigma_e-$弹性极限
§2-4 应力应变图
（2）屈服阶段
隐身当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服
隐身当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服
$c$点是屈服极限
$\sigma_s-$屈服极限
滑移线现象
§2-4 应力应变图
（3）强化阶段
隐身过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化
隐身过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化
$e$点是强化阶段的最高点
$\sigma_b-$强度极限
$e$点是强化阶段的最高点
$\sigma_b-$强度极限
§2-4 应力应变图
（4）局部变形阶段
隐身过$e$点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。
隐身过$e$点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
4、伸长率和断面收缩率
伸长率 $\delta=\dfrac{l_1-l}{l}\times 100\%$
断面收缩率 $\psi=\dfrac{A-A_1}{A}\times 100\%$
$\delta \ge 5\%$ 的材料，称作塑性材料；
$\delta < 5\%$ 的材料，称作脆性材料
低碳钢：$\delta = 20\sim30\%$
$\delta < 5\%$ 的材料，称作脆性材料
低碳钢：$\delta = 20\sim30\%$
$\psi=\dfrac{A-A_1}{A}\times 100\%$
低碳钢：$\psi = 60\sim70\%$
低碳钢：$\psi = 60\sim70\%$
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
5、卸载定律
a. 卸载定律：若加载到强化阶段的某一点 $d$ 停止加载并逐渐卸载，在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间遵循线性关系的规律，称为材料的卸载定律。
$\sigma_{卸}=E\varepsilon_{卸}$
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
6、冷作硬化
b. 冷作硬化：在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大，这种现象称为冷作硬化。
$\varepsilon=\varepsilon_e+\varepsilon_p$（$\varepsilon_e$ 弹性应变，$\varepsilon_p$ 塑性应变）
使材料的比例极限提高，塑性变形减小。
冷作硬化的应用 隐身内缺点：脆性增大
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
三、其它塑性材料
特点：为塑性材料
名义屈服应力用$\sigma_{0.2}$表示。
§2-4 材料在拉伸时的力学性能
四、铸铁拉伸
1、$\sigma_b$——拉伸强度极限，它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
2、应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且 $\sigma_b$ 很低。
$E=\tan\alpha$（割线斜率）
§2-5 材料在压缩时的力学性能
一、低碳钢压缩时的力学性能
隐身在屈服阶段前，图形与拉伸时相同，即$E、μ、σ_s、σ_P$基本相同。
隐身在屈服阶段前，图形与拉伸时相同，即$E、μ、σ_s、σ_P$基本相同。
隐身屈服阶段后,试样越压越扁,试样不可能被压断,因此压缩时无强度极限。
隐身屈服阶段后,试样越压越扁,试样不可能被压断,因此压缩时无强度极限。
§2-5 材料在压缩时的力学性能
二、铸铁压缩时的力学性能
隐身铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45° ~ 55°倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏。
隐身铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45° ~ 55°倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏。
隐身铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4 ~ 5倍。
隐身铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4 ~ 5倍。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
一、失效的概念
失效构件不能正常工作的现象。
失效的形式： 1. 脆性断裂
隐身内容11112. 塑性屈服
隐身内容11113. 压杆失稳
拉压构件材料的失效判据：
塑性材料 $\sigma_{\max}=\sigma_s$ ；
脆性材料拉 $\sigma_{\max}=\sigma_{b拉}$ ；
脆性材料压 $\sigma_{\max}=\sigma_{b压}$
脆性材料拉 $\sigma_{\max}=\sigma_{b拉}$ ；
脆性材料压 $\sigma_{\max}=\sigma_{b压}$
极限应力材料的两个强度指标 $\sigma_s$ (材料的屈服极限)和 $\sigma_b$ (材料的强度极限)，又称危险应力，用 $\sigma_u$ 表示。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
二、许用应力 三、安全因数
许用应力保证材料安全工作的最大应力值。
$[\sigma]=\dfrac{\sigma_u}{n}$（$n>1$，$n$——安全因数）
$[\sigma]=\dfrac{\sigma_u}{n}$（$n>1$，$n$——安全因数）
塑性材料：$[\sigma]=\dfrac{\sigma_s}{n_s}$；脆性材料：$[\sigma_t]=\dfrac{\sigma_b}{n_b}$ 或 $[\sigma_c]=\dfrac{\sigma_{bc}}{n_b}$
安全因数$n$：保证材料安全工作的安全储备，根据材料的性能与工程等级等因素而定：材料素质、载荷情况、简化与计算方法的精确程度、零件重要性、工作环境。
一般静载：塑性材料 $n_s=1.2\sim2.5$；脆性材料 $n_b=2.0\sim3.5$
§2-7 失效、安全因数和强度计算
四、强度条件
杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力：
计算公式:
计算公式:
$\sigma_{\max}=\dfrac{F_{N\max}}{A}\le[\sigma]$
强度条件的三类应用：
- (1) 强度校核：已知 $[\sigma]$、$F_N$ 和 $A$, 校核实际的 $\sigma_{\max}=\dfrac{F_{N\max}}{A}\le[\sigma]$
- (2) 设计截面：已知 $[\sigma]$、$F_N$，求解 $A\ge\dfrac{F_{N\max}}{[\sigma]}$
- (3) 确定许用载荷：$[\sigma]$、$A$， 求解 $[F_N]=A[\sigma]$
例2-5
吊车钢杆 AB，$d=20$ mm，$Q=15$ kN，$[\sigma]=150$ MPa，要求校核杆 AB 的强度
解：1、求内力
$\sin\alpha=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{0.8}{\sqrt{0.8^2+1.9^2}}=0.388$
$\sum M_C=0\quad F_{AB}\sin\alpha\,\overline{AC}-Q\,\overline{AC}=0$
$F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$，
对 AB 杆：$F_N=F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$
对 AB 杆：$F_N=F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$
2、求应力
$A=\dfrac{1}{4}\pi d^2=3.14\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$
$\sigma=\dfrac{F_N}{A}=\dfrac{38.7\times10^3}{3.14\times10^{-4}}=123\,\mathrm{MPa}$
3.强度校核$\sigma=123\,\mathrm{MPa}\le[\sigma]=150\,\mathrm{MPa}$，满足强度条件
例2-6
冷镦机曲柄滑块机构，$h=1.4b$，$[\sigma]=58$ MPa，$F=1100$ kN，确定连杆矩形截面尺寸
解：1、求轴力 $F_N=F=1100\,\mathrm{kN}$
2、求截面积
$A\ge\dfrac{F_N}{[\sigma]}=\dfrac{1100\times10^3}{58\times10^6}=19\times10^3\,\mathrm{mm^2}$
3、确定截面尺寸
$A=hb=1.4b^2\ge19\times10^3\,\mathrm{mm^2}$
$b\ge116\,\mathrm{mm}$，$h=1.4b\ge162\,\mathrm{mm}$
例2-7
简易起重设备，AC 杆 $2\times80\times80\times7$ 角钢，AB 杆 $2\times10$ 号工字钢，$[\sigma]=170$ MPa，求 $[F]$
解：(1) 取结点 A 为研究对象
$\sum F_y=0,\ F_{N1}\sin30°-F=0 $
隐身内容$\Rightarrow F_{N1}=2F$；
$\sum F_x=0,\ F_{N2}-F_{N1}\cos30°=0 $
隐身内容$\Rightarrow F_{N2}=1.732F$
隐身内容$\Rightarrow F_{N1}=2F$；
$\sum F_x=0,\ F_{N2}-F_{N1}\cos30°=0 $
隐身内容$\Rightarrow F_{N2}=1.732F$
(2) 由型钢表查得
$A_1=1086\times2=2172\,\mathrm{mm^2}$，
$A_2=1430\times2=2860\,\mathrm{mm^2}$
$A_2=1430\times2=2860\,\mathrm{mm^2}$
例2-7
教材附录查表
例2-7
教材附录查表
例2-7
简易起重设备，AC 杆 $2\times80\times80\times7$ 角钢，AB 杆 $2\times10$ 号工字钢，$[\sigma]=170$ MPa，求 $[F]$
(3) 各杆的轴力以及许可荷载：
$[F_{N1}]=[\sigma]A_1=369.24\,\mathrm{kN}$，
$[F_{N2}]=[\sigma]A_2=486.20\,\mathrm{kN}$
$F_1=\dfrac{[F_{N1}]}{2}=184.6\,\mathrm{kN}$，
$F_2=\dfrac{[F_{N2}]}{1.732}=280.7\,\mathrm{kN}$
$[F_{N2}]=[\sigma]A_2=486.20\,\mathrm{kN}$
$F_1=\dfrac{[F_{N1}]}{2}=184.6\,\mathrm{kN}$，
$F_2=\dfrac{[F_{N2}]}{1.732}=280.7\,\mathrm{kN}$
(4) 结论
$[F]=\min\{[F]_1,[F]_2\}=184.6\,\mathrm{kN}$
例2-8
刚性杆 ACB 由圆杆 CD 悬挂，$F=25$ kN，$d=20$ mm，$[\sigma]=160$ MPa，校核 CD 杆并求 $[F]$ 与 $F=50$ kN 时的 $CD$杆直径
解：(1) 求 CD 杆的内力
$\sum M_A=0,\quad F_{NCD}=\dfrac{3}{2}F$
$\sigma=\dfrac{F_{NCD}}{A}=\dfrac{3F/2}{\pi d^2/4}=119\,\mathrm{MPa}<[\sigma]$
满足强度条件!
$\sigma=\dfrac{F_{NCD}}{A}=\dfrac{3F/2}{\pi d^2/4}=119\,\mathrm{MPa}<[\sigma]$
满足强度条件!
例2-8
刚性杆 ACB 由圆杆 CD 悬挂，$F=25$ kN，$d=20$ mm，$[\sigma]=160$ MPa，校核 CD 杆并求 $[F]$ 与 $F=50$ kN 时的 $CD$杆直径
(2) 结构的许可荷载
由 隐身内容$\sigma_{CD}=\dfrac{F_{NCD}}{A}\le[\sigma]$
隐身内1容$F_{NCD}=\dfrac{3F}{2}\le[\sigma]A $
隐身111内容$[F]=33.5\,\mathrm{kN}$
隐身内1容$F_{NCD}=\dfrac{3F}{2}\le[\sigma]A $
隐身111内容$[F]=33.5\,\mathrm{kN}$
(3) 若 $F=50\,\mathrm{kN}$，设计 CD 杆的直径
隐身1容$A = \dfrac{\pi d^2}{4}\ge\dfrac{F_{NCD}}{[\sigma]}=\dfrac{3F/2}{[\sigma]}$
解得$d=25\,\mathrm{mm}$
§2-8 轴向拉伸或压缩时变形
一、纵向变形 3、胡克定律
纵向变形轴线尺寸的伸长或缩短。
横向变形横向尺寸的伸长或缩短。
纵向变形 $\Delta l=l_1-l$
纵向应变 $\varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}$
$\varepsilon$无量纲，拉为正，压为负
§2-8 轴向拉伸或压缩时变形
一、纵向变形 3、胡克定律
3、胡克定律：实验表明，大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比。当 $\sigma\le\sigma_P$ 时：
由 $\sigma=E\varepsilon$、$\varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}$、$\sigma=\dfrac{F_N}{A}$ 得
$\sigma = E \cdot \varepsilon \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{F_N}{A} = \dfrac{E \cdot \Delta l}{l} \Longrightarrow \Delta l=\dfrac{F_N l}{EA}$
胡克定律$\Delta l=\dfrac{F_N l}{EA}$
式中 $E$ 称为弹性模量，$EA$ 称为抗拉（压）刚度，反映了杆件抵抗变形的能力。$EA$ 越大，$\Delta l$ 越小。
讨论⑴ 适用范围：$\sigma\le\sigma_P$；⑵ 对阶梯轴：$\Delta l=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{F_{Ni}l_i}{EA_i}$
§2-8 轴向拉伸或压缩时变形
二、横向变形 泊松比
1. 横向变形
隐身内容$\Delta b=b_1-b$；
2. 横向应变
隐身内容$\varepsilon'=\dfrac{b_1-b}{b}=\dfrac{\Delta b}{b}$
隐身内容$\Delta b=b_1-b$；
2. 横向应变
隐身内容$\varepsilon'=\dfrac{b_1-b}{b}=\dfrac{\Delta b}{b}$
3. 泊松比
隐身内容$\mu=\left|\dfrac{\varepsilon'}{\varepsilon}\right|$，
1内容即 $\varepsilon'=-\mu\varepsilon$。
1内容即 $\varepsilon'=-\mu\varepsilon$。
$\mu$ 称为横向变形系数或泊松比。是个没有量纲的量，与材料有关，由试验测定，一般 $\mu=0\sim0.5$。
例2-9
变截面圆杆，$F_1=30$ kN，$F_2=10$ kN，$l_1=l_2=l_3=100$ mm，$A_1=500$ mm²，$A_2=200$ mm²，$E=200$ GPa，求杆的总伸长
解：1、求内力
AB 段：$\sum F_x=0$，$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；BD 段：$\sum F_x=0$，$F_{N2}=-10\,\mathrm{kN}$
2、轴力图（见右图）
AB 段：$\sum F_x=0$，$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；BD 段：$\sum F_x=0$，$F_{N2}=-10\,\mathrm{kN}$
2、轴力图（见右图）
例2-9
变截面圆杆，$F_1=30$ kN，$F_2=10$ kN，$l_1=l_2=l_3=100$ mm，$A_1=500$ mm²，$A_2=200$ mm²，$E=200$ GPa，求杆的总伸长
(3) 各段变形
$\Delta l_{AB}=\dfrac{F_{N1}l_1}{EA_1}=0.02\,\mathrm{mm}$，
$\Delta l_{BC}=\dfrac{F_{N2}l_2}{EA_1}=-0.01\,\mathrm{mm}$，$\Delta l_{CD}=\dfrac{F_{N2}l_3}{EA_2}=-0.025\,\mathrm{mm}$
(4) 杆的总伸长
$\Delta l_{AD}=\Delta l_{AB}+\Delta l_{BC}+\Delta l_{CD}=-0.015\,\mathrm{mm}$
例2-10
三角架 $E=200$ GPa，$A_1=2172$ mm²，$A_2=2548$ mm²，$F=130$ kN，求节点 A 的位移
解：(1) 由平衡方程得两杆的轴力
隐身内容$\sum F_y=0,\ F_{N1}=2F$；
隐身内容$\sum F_x=0,\ F_{N2}=1.732F$
$AB$ 杆受拉，$AC$ 杆受压
隐身内容$\sum F_x=0,\ F_{N2}=1.732F$
$AB$ 杆受拉，$AC$ 杆受压
(2) 两杆的变形
$AA_1=\Delta l_1=\dfrac{F_{N1}l_1}{EA_1}=1.198\,\mathrm{mm}$，
$AA_2=\Delta l_2=\dfrac{F_{N2}l_2}{EA_2}=0.765\,\mathrm{mm}$
$AA_2=\Delta l_2=\dfrac{F_{N2}l_2}{EA_2}=0.765\,\mathrm{mm}$
例2-10
三角架 $E=200$ GPa，$A_1=2172$ mm²，$A_2=2548$ mm²，$F=130$ kN，求节点 A 的位移
(3) 位移图解（以切线代圆弧）：
隐身$AA_3$ 为所求 A 点的位移:
$A_2A' = A_2A + AA' = \Delta l_2 + \dfrac{\Delta l_1}{\cos 30^\circ}$
$A_2A_3=\dfrac{\Delta l_2}{\tan30°}+\dfrac{\Delta l_1}{\sin30°}$
$AA_3=\sqrt{(AA_2)^2+(A_2A_3)^2}=3.78\,\mathrm{mm}$
$AA_3=\sqrt{(AA_2)^2+(A_2A_3)^2}=3.78\,\mathrm{mm}$
本节结束
The End
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